股票投资的本质就是概率的游戏，如果你连这个本质都不懂也不学，又如何炒股成功呢！
——坤鹏论
巴菲特总是声称自己非常幸运，1930年出生于美国，这个出生时空组合的概率是 30:1，而他降生的那一刻就好比中了彩票。
坤鹏论在不断学习概率后，深感理解它对于股票投资之重要。
正如哲人所说：“概率是生活的向导。”
同样，概率也是投资的最好向导。
可以说，如果你不懂概率，那将永远无法触摸到投资的本质与真谛。
比如：你根本不明白为什么要交易少，为什么要长期持有。
于是，你听什么都认为有道理，看什么都觉得人家挺牛。
但是，到了自己去做投资决策时，又总是感到迷茫，不知该如何是好。
有这种不知所措非常正常，正是概率让股市永远都是雾里看花。
也正是概率，让所有人，包括所有投资大师，在投入金钱时，无对，也无错！
一、何为概率
当我们不太确定一件事情，却想表达一下自己的意见时，经常会说“大约”、“可能”之类的词语。
当我们想更进一步表达并做出量化时，比如：A球队出线的可能高达80%，这次考试有40%的几率得100分……
这个时候，你就开始和概率打交道了。
概率，就是可能性，是风险的数学语言。
一只猪生出一只鸟的可能性有多大？我们将这个概率定为0。
太阳明天从东方升起的可能性有多大？我们将这个概率定为1。
在概率论中，所有事情发生的可能性将介于0~1之间，而这种可能性主要用百分比来表述，而确定这个数值就是概率论主要研究的。
我们常常猜想事情发生的可能性，而概率就像猜测。
理查德·费曼说：“有高明的猜测，也有拙劣的猜测，概率论就是研究如何作出高明猜测的系统。”
概率总是带着双重含义，一个着眼于未来，另一个解释过去，一个与我们的观点有关，另一个与我们确实所知的情况有关。
我们可以通过相对频率，也就是事件在过去相似情况下发生的频次预测概率。
也可以根据以往的经验进行有根据地猜测。
或者利用一切相关的重要信息和手边的证据进行预测。
还可以计算可能性结果的数量，比如：某个地方97年来，发生了36次飓风，根据这个历史记录，排除未来变化的可能性，我们预期该地每年发生飓风的概率是36÷97=37%。
二、概率的最早发现者
概率最早的发现者是16世纪意大利数学家、物理学家、医学家——卡当（又译为卡尔达诺）。
由于他长年醉心于游戏和赌博，堪称赌徒中的赌徒，更可谓掷骰子、弈棋、打牌无所不能。
不过，他也着实没少输钱，并得出了最早对赌博的警世恒言：“赌博最大好处来自于从不进行赌博。”
话说，赌徒谁不想把把赢？卡当也不例外。
因为当时掷骰子最流行，而且是同时掷两颗骰子，所以卡当运用自己的数学知识试图计算出，在多少点上下注最为有利。
经过不断演算和实验，他列了个表，得出了黄金数字——7。
也就是7是出现次数最多的和数，36种可能中共出现6次，概率为1/6。
卡当可能是历史上第一个对机会性赌博进行认真分析的人，并著有论文——《关于机会性赌博的著作》。
他在论文中并没有使用概率一词，而是大部分均用“机会”代替。
这就是人类有史料记载的概率论萌芽，同时也是人类已知的第一次试图对风险进行衡量所做的努力。
后来，大概在1623年，发明钟摆和温度计的意大利数学家、物理学家、天文学家伽利略，也写了一篇关于赌博的短文，题目为《论掷骰子游戏》，不过这篇并非他自愿的，而是来自上层的压力，因为他不好赌，觉得赌博没有任何意义。
在这篇短文中，伽利略也考虑了掷一个或更多骰子的试验，并对各种不同组合以及结果的种类出现的频率总结出了一般规律。
这证明，到1623年的时候，概率的赌博性概念已经在很大程度上建立起来了。
三、概率论的奠基人
随着人们对赌博概率的兴趣在法国传播开来，然后又传到瑞士、德国以及英国，关于概率和风险的新思想很快地产生出来。
时间到了17世纪中叶，欧洲贵族依然赌性不减，掷骰子的游戏风靡上流社会。
于是促使概率论诞生的两个赌博问题出现了，一个是德·梅雷问题，另一个是分赌注问题。
包括这两个问题在内的一些赌博问题难倒了不少数学家，最后被提到了当时法国最厉害的数学家、物理学家，并有神童之称的布莱士·帕斯卡那里。
光是分赌注这个问题，就难了帕斯卡三年之久，直到1645年，他终于有了些眉目。
由于还不能完全确定，于是他开始在和另一位数学家——皮埃尔·德·费马通信中讨论这个问题。
费马是位成功的律师，兼数学家，其博学几乎达到了可怕的程度，可以讲欧洲任何一种主要的语言，甚至可以用其中一些语言写诗，他还是希腊和罗马文学的评论家，还是研究偏僻领域的数学家、分析几何的独立创始人，对微各分的早期发展做过贡献，研究过地球的重量，并对光的折射和光学进行了研究。
费马最大的成就是数论——每个单独数学与其他所有数学之间关系的结构分析，可以说这些关系中有着无穷的奇妙性，即使到今天人们对其也没有完全研究清楚，而其最著名的成就则是提出了“费马大定理”。
最终帕斯卡和费马分别用不同的数学方法对这个问题解出了同样的答案。
帕斯卡用的是几何方法，费马用的是代数方法。
而帕斯卡更具创造性，他使用了一个几何模型来表现其基础的代数结构。
这种方法简便而且适用于概率问题上很多模型的应用。
但是，这种几何代数后面所蕴含的基本数学概念早在帕斯卡和费马之前就存在了。
1303年，一位叫朱世杰的中国数学家，在没有凭借任何前人努力的基础上，通过一种他称之为“四元素镜子”的方法解决了这个问题。
朱世杰的“镜子”现在被称为“帕斯卡三角”。
正像后人所评价的：“1654年，帕斯卡和费马之间的通信，在数学和概率论上具有划时代的意义。”
他们相互来往的信件发展了概率论的基本原理。
在解决了分赌注这个问题的同时，帕斯卡和费马构建了一个系统，能确定数种或有结果的可能性，比如：你喜欢的球队在首战失利后，赢得世界杯的可能性。
这个系统就是概率论的基本概念——数学期望。
在概率论和统计学中，数学期望（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一，反映随机变量平均取值的大小。
需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。
期望值是该变量输出值的平均数，期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
后面，坤鹏论会专门写期望值的文章，它会让你对投资有更深一层的理解，这里就先不赘述了。
而帕斯卡和费马研究工作还标志着决策理论的开端，决策理论是当你不确定将要发生什么时，决定做什么的过程。
写《与天为敌》一书的作者彼得·伯恩斯坦认为：“做出决策是风险管理重要的第一步。”
而世界上第一本概率论的专著也和前面提到的赌博难题相关。
当时荷兰数学家惠更斯正好来巴黎，也听到这些难题，于是他回国后苦心钻研，并并解决了掷骰子中的一些数学问题。
在1657年他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰游戏中的计算》。
这应该是迄今为止被认为是概率论最早的专属论著。
四、雅各布·伯努利的大数法则
在此之后，概率成了令数学家无比着迷的学术研究方向，比如有个叫约翰·阿布斯诺特的御医兼业余数学家，他研究了“20岁的妇女是否有处女膜”的概率以及“20岁的花花公子没得淋病”的概率。
概率的学术流行吸引了一位牛人，他叫雅各布·伯努利。
雅各布·伯努利来自瑞士天才甚至堪称逆天的数学家族——伯努利家族，而这个家族可谓对概率论做出了杰出贡献。
并且，在所有为概率论做出贡献的著名思想家中，雅各布·伯努利可能是最重要的一位。
在1686年与友人的书信中，他提到了在网球比赛过程中预测结果的问题。
雅各布·伯努利一开始就意识到，这样的竞技赛事是人类而非机器在参与，因此简单列举所有结果绝无可能。
不过，他提出了一个很简单的观点：如果能收集到足够多的历史资料进行研究，那么就有可能分析这种包含不确定性的复杂游戏。
雅各布·伯努利的想法是，就算你无法直接得知一件事的真实概率，也能在观察了足够多次的结果后大致估计出这件事的发生概率如何。
例如，如果有一枚两面不均匀的硬币，只要抛掷足够多次，就能越来越准确地知道它正面或反面向上的概率。
雅各布·伯努利认为概率论是人类了解高深知识的捷径。
而他以上这个想法就是鼎鼎大名的“大数法则”（大数定律），这个法则支撑了后来的保险业、投资业、赌博业，甚至是诈骗产业等。
让我们来用雅各布·伯努利与其友人——伟大的数学家戈特弗里德·莱布尼茨的通信内容进行一下介绍。
在一封信中，雅各布·伯努利举了一个愚蠢游戏的例子：
有一把装满黑球和白球的壶，难道你需要把每个球逐个数出来才能确定黑球对白球的比例是某个分数，比如2∶1吗？
雅各布·伯努利认为不需要，如果基本确定这个比例大致在201/100~199/100，他就能告诉你需要拿出多少球来查看以验证你的想法。
他的意思是，研究的次数越多，你对壶中黑、白球比例的估计就越趋近于实际比例。
接着，他又在信中这样写道：
“如果你把壶换成一个老人或者年轻人的身体，而身体携带着的致病细菌，就好比是壶中装着的球，那么进行观察后，你就能以同样的思路，知道老者离死亡的距离比年轻人近了多少。”
“即使死亡数是无限的，我们却能用有限次的观察估计出两种人死亡数的比例，反复观察会使估计比例逐渐接近实际比例，直至两者之间的差异难以被察觉，这个估计比例不完全准确，但从现实的角度而言已经足够接近。”
1705年，雅各布·伯努利曾这样说道：“在类似条件下，一件事情未来的发生（或不发生）频率将会与过去得出的情况保持一致。”
就像一直存在的诈骗电话，你会觉得骗子怎么这么傻，谁会信呢！
但是，人家骗子早就纯熟地运用了大数法则，他们清楚地知道打多少电话会多少比率的人会上当，而且以前是这样的比率，现在也是，未来还会是。
五、最早将概率论推向实际应用的拜尔推理
而最早将概率论推向实际应用的人叫做托马斯·拜尔，他同样是一位数学家。
1701年，拜尔出生于英国的一个普通家庭，比帕斯卡整整晚了100年。
他是英国皇家科学院院士，但终生没有出版过任何数学专著，直到死后，才被人发现了他写的《在机会原则中解决问题》的论文。
尽管该论文在当时也没有引起人们的注意，但是，从后世看，它却是一篇惊世之作，奠定了拜尔作为统计学家、经济学家和社会学家的不朽地位，因为，它为投资提供了数学概率论的使用方法，被称为拜尔推理。
通过拜尔推理提供的数学公式，我们可以基于可以获得的信息，给每一个结果赋予一种可能，如果获得了新的信息，原有的可能性将重新做出相应的调整，改变我们的预期，以及相应的概率。
坤鹏论举个例子说明一下。
你和朋友玩掷骰子猜点数的游戏，每一轮一个人可以偷看结果，并给出对方非直接结果的提示。
比如：你的朋友掷，你来猜，他掷完后，你猜中的概率是1/6，结果你没猜中。
他偷看了一眼，告诉你：“这是一个偶数。”
这样你有了新信息，猜中的概率从1/6提升到了1/3，33%的可能性，可惜你还是没能猜中。
他接着再次给你一个提示：“不是4。”
这样，你猜中的概率迅速提升为1/2，因为现在的范围缩小到了只有2和6，你猜中的概率是50%。
而这个就是拜尔推理，每一次新信息的增加，都会改变你猜中的可能性。
使用拜尔推理进行分析，需要将所有信息都融入推理或决策过程中，美国的大学会使用它帮助学生学习决定，并将其称为决策树理论。
树的每个分支代表新的信息，反之也会影响决策概率。
六、重要的频率概念
如果在投资中运用概率论，我们还要特别注意频率这个概念，因为人们很容易把它和概率搞混。
和概率相比，两者既有联系也有本质的不同。
当我们抛一枚硬币50次，出现20次正面朝上，30次反面朝下，有些人会说，正面朝上的概率是2/5，这就是典型的将频率和概率没有区分出来。
在上面这个例子中，关于20次出现正面朝上，只能说正面朝上的频率是2/5，而不能说概率是多少。
频率是在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数m称为事件A发生的频数。
如果事件A发生的频率随着实验次数的逐渐增大，频率呈现稳定性，并逐渐稳定于某个常数，这个常数就是事件A的概率，这种“频率稳定性”也就是通常所说的统计规律性。
随机抛一枚硬币之后正面朝上的概率是1/2，掷出骰子之后，出现双数的机率是1/2，如果一个盒子装满了蓝和红的玻璃球，70%为红，30%为蓝，那么就有3/10的概率拿到蓝色的球。
这些事件的可能性被称为频率解读，而它是基于平均法则的。
如果一件不确定的事重复发生无数次，它发生的频率就体现在它的可能性上。
比如：掷一枚硬币10万次，出现正面朝上的机会预计有5万次，注意，这里不是说正好5万次。
而大数法则认为，当无限次重复之后，相应的频率和可能性应该是相同的。
频率比概率更精准，而且频率是某时间段某次实验精确值，概率是整体事件的随机性，是宏观的。
理论上，对，理论上，掷硬币游戏，出现正面朝上的概率是1/2，但是没有任何人可以真的掷无数次。
还记得波普尔的可证伪性理论吗？
对的，所有“科学理论”其实都是“迄今还没有被证伪的理论”。
即使一个理论能够暂时逃脱实验的检验，即使一百万次实验都证实了假设，也不能保证一百万零一次的实验不会否定或拒绝假设，终有一天会暴露出来，从而遭到实验的反驳或“证伪”。
而这个掷硬币的1/2概率同样还是暂时没有被证伪。
而投资不是掷硬币，充满了不确定性，因为企业、股市、股票每秒都在发生着变化，正如古希腊自然哲学家赫拉克利特所说：一个人不可能两次踏入同一条河流。
而大数法则的关键是基于平均法则的，这就牵扯到一个统计学著名的回归平均概念，而巴菲特、格雷厄姆等投资大师，他们就是秉承对回归平均的笃信进行下注，低买高卖获得财富。
七、投资者一直在用的贝叶斯推断
如果一个问题具有不确定性，我们就无法做出100%明确定义。
如果问题已经被定义明确，我们就可以列出各种可能的后果。
并且，如果一个不确定因素重复的次数足够多，结果的频率就能反映出不同结果的概率。
但是，如果我们关心的问题只能出现一次，那难办了，根本得不出概率。
比如：我们如何估计明天通过考试的概率，或是某只球队赢得世界杯的概率？
每一个个案，我们面临的问题都不一样。
对于通过考试的概率，我们似乎可以用以前考试的表现来估计，但是每次考试的内容肯定是不一样的，而且我们的知识水平、准备工作等也已经发生了改变。
而球队赢得世界杯，也可以拿过去的成绩进行统计，但是，我们没有足够的数据统计每一位球员在相同环境下的表现记录。
没有大量重复的实验，我们就无法得到频率分布，也就无法计算可能性。
这个时候，我们只要依靠自己对于可能性的主观解读，而在现实中，我们经常会这样干。
比如：通过考试的概率是90%，某球队获得世界杯的可能性是1/2，这些其实都是关于可能性的陈述，它是我们对一件事的相信程度。
这就引出了概率论又一个著名的理论——贝叶斯推断。
距帕斯卡和费马合作几乎整整100年以后，一位叫托马斯·贝叶斯的英国牧师（同时也是数学家），首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献。
在他的《机会问题的解法》一书中，贝叶斯提出了这样一个问题：“给定一项未知事件已经发生和失败的次数，求证该事件每次测试时的发生概率介于两个指定数额之间的机会。”
然后，他又对这个问题做出了解答：“任意事件的发生概率都是依据事件发生预期所估算出来的价值与预期事件发生机会的比率”。
这预示了一个现代公式，即期望效用等于事件发生概率乘以事件所带来的收益。
贝叶斯推断是一种统计学方法，用来估计统计量的某种性质，它是贝叶斯定理的应用。
贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。
它建立在主观判断的基础上，也就是说，你可以不需要客观证据，先估计一个值，然后根据实际结果不断修正。
贝叶斯推断认为，如果你相信你的假设是理性的，那么对于一个特定事件的主观可能性，就等同于实际发生的频率可能性。
而你所要做的就是，剔除那些非理性、不符合逻辑的部分，保留理性的部分。
相当于是在一条旧信息的基础上利用新信息推出概率，以统计学语言来说，是比较先验概率和后验概率。
起初，因为贝叶斯推断的主观性太强，相当多统计学家对其嗤之以鼻，而且它还需要大量计算，所以，在历史很长一段时间，并不能得到广泛应用。
而只有到了计算机诞生并普及后，它才获得真正的重视，如果它已经成为保险精算和风险管理的利器。
其实，在投资中贝叶斯推断早就被投资者广泛使用，只是他们没有感知而已。
比如：为了投资成功，投资者需要将历史数据和最新发生的数据结合在一起进行考虑，这就是现实投资中的贝叶斯推断。
另外，坤鹏论在《与天为敌》中看到一个不错的例子，引用过来，让大家更好地理解贝叶斯在统计推测方面功效。
假设有家生产大头针的公司，它有两家分厂，其中较老的那个厂占总产出的40%，这意味着随机挑出一枚大头针，不管它是好是坏，有40%的可能来自老厂，但60%可能来自新厂，这是一个先验概率。
我们又发现，老厂产品中的废品是新厂的两倍。
现在，如果一个客户打电话抱怨，他发现了一个废品。
那么，公司经理应该打电话给哪个厂呢？
先验概率说明废品很可能来自新厂，因为它占总产出的60%。
但是，从另一方面讲，新厂只生产全公司废品总量的1/3。
当我们修正先验概率使之也反映这种新增信息时，新厂产出废品的概率就只有42.8%，而老厂产出废品的概率是57.2%，这个新的估计就是后验概率。
可以说，人类的1654年到1760年，相当神奇，现在人们用于风险管理和决策与选择分析的所有工具，从概率率到博弈论，都产生于这些年的成就之中。
本文由“坤鹏论”原创，转载请保留本信息
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