我们总是想着别人应该如圣人般道德，却总给自己的不道德找各种借口。
——坤鹏论
古希腊数学家以追求精确和严格证明而著称。
传说，有一次阿波罗的神谕说，如果某个祭坛的尺寸加倍而形状不变，瘟疫就会结束。
于是，人们将祭坛的长、宽、高都增加了三分之一，这样的结果是原来尺寸的2.37倍。
人们以为，神会对多出了37%而感到高兴，结果却不然，瘟疫并没有结束。
甚至在人们将祭坛的每边加倍，使它的尺寸增加到8倍后，瘟疫仍在继续。
如果人们将原来的每边增加26%，祭坛将会是原有体积的2.0004倍，2倍与2.0004倍之间的差别是实验都无法觉察的，但是，希腊数学家对近似，不管它有多近似，都不感兴趣，他们以精确加倍祭坛为己任。
这个消灾避祸的实际问题导致了加倍立方体的几何学问题：
给定一条线段，只用圆规和没有刻度的直尺，作出一条线段，使以其为棱的立体方是以原有线段为棱的两倍。
类似的两个问题是三等分一个角和作出一条线段，使以其为边的正方形与已知圆的面积相等。
这些问题任意精度的近似都可以得到，但就是得不到100%的精解。
它们让数学家研究了许多世纪，最终在2000多年后，得到的结论是：这些任务是不可能完成的，也就是它们是无解的。
一、前情回顾
英国哲学家卡尔·波普尔说：西方哲学，不是柏拉图的，就是反柏拉图的。
英国文学评论家怀海德断言：全部西方哲学传统都是对柏拉图的一系列注脚。
坤鹏论则认为，柏拉图很可能是毕达哥拉斯的注解。
正如罗素所说：
“我不知道是否还有其他人像他一样在思想领域里如此有影响力，我之所以这么说，是因为一些思想看起来像是柏拉图式的，但是经过分析，却发现本质上是毕达哥拉斯式的。依靠思维而不是感觉所揭示的关于这个永恒世界的整体观念，正源自于他。”
最后，罗素郑重地写道：
“他对人类思想界的影响很少有人能与之媲美。”
“毕达哥拉斯尽管年代久远，但是他的影响却是哲学家中最大的。”
“毕达哥拉斯开启了神学与数学的结合，对宗教和哲学的影响一直持续到近代……数学与神学结合后，使得西方宗教带有了明显的理性，毕达哥拉斯使得东西方的宗教走向了不同的道路。”
在《柏拉图的理型论（一）》中，坤鹏论和大家一起温故了一些与柏拉图哲学紧密相关的毕达哥拉斯学派的哲学观点，比如：万物皆数、关系是万物的本原等。
亚里士多德在《形而上学》中对毕达哥拉斯学派是这样评价道：
“毕达哥拉斯学派的人研究数学，首先把数学引入希腊。
由于研究数学，他们认为研究数学原则是一切事物的原则。
因此，数按其本性来说是第一性的。
在他们看来，在数中，要比火、土、水中更能看到一切存在和变化之物共同的东西，更能看出，哪种数是‘正义的’，哪种数是精神、心灵，哪种是‘合时的’等等。
同时，他们在数的和谐中，看到逻辑规律（特性），因为他们认为，一切别的事物的本性都是由数造成的，因而数在一切本性中是第一位的，他们认为数的原素就是一切事物的原素，一切天体也是和谐的数。”
对照柏拉图的哲学理念，显而易见，柏拉图实实在在地继承了、发展了毕达哥拉斯的这些伟大思想。
黑格尔甚至指出，是毕达哥拉斯创立了理型论，他的数是思想的开始，而柏拉图则是理型论的继承者、完善者，他实现了思想＝概念的阶段。
在坤鹏论看来，万物通过关系生成，这是毕达哥拉斯最伟大的洞见之一，也是其哲学体系的核心之核心。
持着这一洞见与柏拉图的思想比较，我们不难发现，柏拉图同样也将其立为哲学、爱智慧的关键，比如：人类社会由关系而生；灵魂的善是三个部分关系和谐，同理，城邦的善也是三个阶层关系和谐等等。
再比如：在《理想国》中，柏拉图让苏格拉底明确指出，真正的天文学家、真正的哲学家，都不会寻求物质性的可闻可见事物之间数的关系，而是深入到说明问题，考虑什么样的数的关系是和谐的，什么样的数的关系是不和谐的，各是为什么。
“如果研究这些学科深入到能够弄清它们之间的相互关系和亲缘关系，并且得出总的认识，那时我们对这些学科的一番辛勤研究才有一个结果，才有助于达到我们的既定目标，否则就是白费辛苦。”
二、最好的就是关系和谐
正如《柏拉图的理型论（一）》所讲，从关系的角度出发，毕达哥拉斯学派揭示了一个属于他们的最重要的哲学理念——形式的概念。
数与大小之间的关系的重要性在于，数意味着某种形状，比如：三角形、正方形、长方形等。
单独的点是“界碑”，它划定了“范围”，因此，所有形态中，数，远非仅仅是抽象的东西，它们也是特殊种类的实体。
“万物皆数”意味着所有具有形状和大小的事物都有一个数的基础。
毕达哥拉斯学派以这种方式从算术转到了几何，然后再转到了实在的结构，提出了万物如何从单一原始物质形成出来的连贯概念——在关系结构之下，原初物质才能形成万物，而数的关系就是世界的关系结构，数决定了万物的形式，因此，万物的本原是数。
坤鹏论认为，从“范围”这个角度讲，形式意味着限定，限定意味着节制，而形式又是数与数和谐关系的产物，那么，限定、节制就是和谐关系的重要保证。
毕达哥拉斯学派认为，限定尤其要通过数加以理解，最好的体现是音乐和医学，因为在这两门技艺中，最核心的问题是和谐。
音乐的和谐是：不同音调按照一个数的比例关系分布达到了音程的协调。
医学的和谐为：健康就是一些对立面在恰当比例关系下达至和谐，身体就像一部乐器，当身体内的干和湿、热和冷等协调时，就是健康的，而疾病就是弦绷得太紧，或者音没有调试好造成的。
而且，在西方早期的医学文献中，数的观念经常和健康、疾病连在一起运用，尤其是当数被解释为“形”的时候。
由此，我们是不是已经感到了柏拉图总在强调的节制、和谐的渊源所在了！
三、二重世界
毕达哥拉斯时代的人们普遍认为，自然存在于人类外部，关于它的知识需要凭借感觉性经验获得。
可是，数学的诸多概念却并非通过感觉性经验获得，不属于经验性观念，比如：2、3等数字观念所对应的物体、纯粹的二元平面上用没有宽度的直线描绘出来的三角形等观念所对应的物体，都不是由感觉性经验获取的。
通过这样的比较思考，毕达哥拉斯深信，既然我们的精神中有这样的观念，并且所有人的精神普遍具有这样的观念，并且由此还能进行普遍性的数学性的认知，那就是说明，这样的观念就是我们的精神中与生俱来的。
是不是找到柏拉图灵魂回忆说的渊源出处了？
毕达哥拉斯继续思考并得出结论：存在着二重世界：一个是感性世界，一个是理性世界。
感性世界，依靠感觉的知，是非知，只有理性世界，超越感官的知才是真正的知。
这个主张被认为是二重世界观，即存在着理性与感性、知与非知、真理与假象这样的两个世界。
毕达哥拉斯被认为是西方哲学史中最早主张二重世界的人。
不过，这个观念放到当时的世界并不新鲜，在埃及、巴比伦和印度等大文明那里，类似观念已经垄断了人们的思想。
显而易见，柏拉图的可见世界和可知世界（理型世界），完全传承自毕达哥拉斯。
而且，毕达哥拉斯还指出，二重世界与数学都有着直接关联。
柏拉图继而指出，数学，或至少几何学，为我们周围的流动的物质世界与平静的、理想的、静止的思想世界之间的鸿沟提供了唯一的桥梁，数学可以引导人们进入到理型世界。
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